Wp/sdc/Logica matematica

La logica matematica è lu settori di la matematica chi sthudieggia li sisthemi furmari da lu puntu di vistha di cudificà li cuncetti intuitibi di la dimosthrazione e di computazione cumenti parthi di li fundamenti di la matematica.

Edda s'occupa di li parthi di la logica chi podini assè modellate matematicamente.

Altrhi termini utirizzaddi spessu i' lu passaddu sò logica simbolica (termini cuntrapposthu a logica filosofica) e matematica, termini chi abà s'applica più specificamenti a taluni aspetti di la teoria di la dimosthrazione.

Storia

Logica matematica è lu nommu assignaddu da Giuseppe Peano a chidda chi era nota ancu cumenti logica simbolica ò ancu furmari. In bona susthanzia è ancora la logica di Aristotele, ma si poni da lu puntu di vistha chi cunsidera la notazioni cun la quali veni schritta cumenti branca di l'algebra astratta e di la combinatoria.

Di li tentatibi di trattà li operazioni di la logica furmari cun mudaliddai simboliche ò algebriche furono effettuati da alcuni di li matematici cun più spiccate attitudini filosofiche, cumenti Gottfried Leibniz e Johann Heinrich Lambert; parò li sò sforzi rimasero guasi sconosciuti e isuraddi. Furono George Boole e lu sò cuntinuadori Augustus de Morgan chi, intornu a la middai di lu XIX securu, proposeru pà lu trattamentu di la logica mudaliddai matematiche sistematiche (naturalmenti di natura non-quantitativa).

In tali modu la dottrina tradizionari, arishotelica, di la logica vinia riformadda e cumplitadda; inoltri risulthaba sviluppaddu unu sthrumentu adeguaddu pà l'indagine di li cunzetti fundamentari di la matematica. Lu sviluppu di chistha 'noba' logica ha cundottu ad affruntà problemi chi sò sfociaddi in controversie fundazionari ampiamenti dibattuddi fra lu 1900 e lu 1925 e chi saristhia furviante cunsiderà ricomposte; in dugna casu la filosofia di la matematica ha rizivuddu una profonda chiarificazione da li acquisizioni di la logica matematica.

Mentri lu sviluppu tradizionari di la logica (vedi erencu di l'arthicuri di logica) poni forthi enfasi innantu a la forma di li argomentazioni, l'atteggiamentu di la logica matematica di li nosthri tempi potrebbe assè riassuntu cun la frasi sthudiu cumbinatoriu di lu cuntenuddu. Chistha aspressioni cubri sia li sò atteggiamenti sintattici (ad es. individuà in un linguaggiu furmari una stringa da invià a un programma compilatore, parchì la trascriva cumenti una sequenza di istruzioni pà lu computer), sia li sò atteggiamenti semantici (costhruì spefici modelli ò interi insiemi di stringhe, i' la teoria di li modelli).

Alcuni pubblicazioni determinanti sò sthaddi la Begriffsschrift (Notazione di li cunzetti) di Gottlob Frege e li Principia Mathematica di Bertrand Russell.

Argumenti di la logica matematica

Le aree di la logica matematica includini la teoria di li modelli, teoria di la dimosthrazioni e la teoria di la ricorsione.

A chisthi talora veni aggiunta puru la Teoria di li insiemi. Edda possiedi assai sovrapposizioni cun l'informatica, fin da li trabagli di li pionieri di chistha disciplina, cumenti Alan Turing, li quali erani matematici e logici.

Lu sthudiu di la semantica di li linguaggi di programmazione è deribaddu da la teoria di li modelli, cumenti è accaduddu a la verifica di li programmi, in parthiculari a la verifica di li modelli.

L'isomorfismu di Curry-Howard, tra dimostrazioni e programmi, si cullega a la teoria di la dimostrazione; pà chisthi chisthioni sò significatibi puru la logica intuizionista e la logica lineare. Calcuri cumenti lu lambda calcolo e la logica combinatoria oggi sò sthudiaddi prinzipalmenti cumenti linguaggi di programmazione idealizzati.

I' lu sensu speculari inoltri l'informatica contribuisce a la logica sviluppendi strumenti pà la verifica automatica di li dimostrazioni e puru pà l'individuazione di li dimostrazioni: tra chisthi li dimostratore automatigu di li teoremi e li strumenti di la programmazione logica.

Teoremi significativi

Alcuni risultati fundamentari

Li dimosthrazioni computativi di la valididdai universali di li formuri di la logica di lu primu ordhini podini assè sottuposthi a la verifica algoritmica di la sò valididdai. Cun una espressioni tecnica si dizi chi lu linguaggiu di li dimosthrazioni è ricorsivu primitivu. Essenzialmenti chisthu equivari a lu teorema di completezza di Gödel; eddu parò in genere veni formuraddu pà chiarì chi eddu nò a nudda a chi fà cun li algoritmi.

Lu linguaggiu di li formuri validi di la logica di lu primu ordhini nò è decidibile, bensì semidecidibile, chisthu impliga chi esisthi un algoritmu in gradu di varutà la valididdai di una formula. I' lu casu in cui la formula sia valida l'algoritmu è in gradu di terminà resthituendi cumenti proba la dimosthrazioni di la sò valididdai, in casu cuntrariu, si la formula nò è valida, l'algoritmu nò è in gradu di abbizzassinni e cuntinueggia ad eseguì calcuri (si dizi chi diverge), senza mai fornì una rippostha. Pà chisthu lu linguaggiu di li formuri si dizi ricorsivamente enumerabile.

Lu linguaggiu di tutti li formuri universalmenti varidi di la logica di lu sigundu ordhini nò è nippuru ricorsivamente enumerabile. Chistha è una cunseguenza di lu teorema di incompletezza di Gödel, quindi un eventuari algoritmu chi piglia in input una formula potrebbe divergì puru i' lu casu in cui la formura sia varida.

Eliminazioni di li tagli i' lu calcuru di li sequenti.
L'indipendenza logica di l'ipotesi di lu continuo dimusthradda da Paul Cohen i' lu 1963.

Bibriografia

Anne Sjerp Troelstra, [H. Schwichtenberg: Basic Proof Theory (2nd ed.). Cambridge University Press, 2000.
George Boolos, Richard Jeffrey: Computability and Logic (3° ed.). Cambridge University Press, 1989.
Diego Filotto: Dalla grammatica alla logica. Armando Editore, 2005.
Andrea Asperti, Agata Ciabattoni: Logica a Informatica (2° ed.). McGraw-Hill, 2005.
Achille C. Varzi, John Nolt, Dennis Rohatyn: Logica (2° ed.). McGraw-Hill, 2007.
Dario Palladino: Corso di Logica. Introduzione elementare al calcolo dei predicati, Carocci, 2002.
Dario Palladino: Logica e teorie formalizzate. Completezza, incompletezza, indecidibilità, Carocci, 2004.
Vincenzo Manca: Logica Matematica, Bollati Boringhieri, 2000.
Elliott Mendelson: Introduzione alla Logica Matematica, Bollati Boringhieri, 1972.

Bozi correladdi

Collegamenti esterni

(en) Mathematical logic around the world
(en) Polyvalued logic
Breve storia della logica
(en) Computability logic Recente orientamento nella logica matematica, che si propone di spostarla dalla teoria della verità verso la teoria della computabilità.