Wp/rsk/Циклоида

Циклоида (од κυκλοειδής - округли ) то крива, хтору описує точка хтора ше находзи на кружнїци круга хтори ше котуля по простей без шлїзканя.

Обична трохоида хтора настава зоз котуляньом єдного круга и при хторим ше точка, хтора описує линию находзи на самим кругу, хтори ше котуля.

История

Аполоний Перґейски, астроном Гипарг зоз Родосу и познєйше Клаудий Птолемей преучуюци рушанє планетох, описали криви хтори ше доставаю кед ше всєленске цело источашнє участвує у двох ротацийох: рушаюци ше по кругу $\kappa$ чий ше центер руша по другим кругу $\kappa$'. Тоти криви ше можу описац як фиксирани (нєрухоми) точки круга $\kappa$ хтори ше без шлїзканя котуля по нєрухомим кругу $\kappa$'.

У зависносци од одношеня радиюса $r$ и $r$' кругох $\kappa$ и $\kappa$', як и од того чи ше круг $\kappa$ ротира звонка або знука круга $\kappa$' постоя два розлични криви.

Кед ше круг $\kappa$ ротира звонка по кругу $\kappa$', одвитуюци криви ше наволую епициклоиди.

Кед ше $r$ < $r$' и $\kappa$ ротира знука по $\kappa$', то гипоциклоиди.

Кед ше $r$ > $r$' и $\kappa$ ротира звонка по $\kappa$' хтори ше находзи знука $\kappa$, то перициклоиди.

Кед $\kappa$' нє круг, алє проста, круг $\kappa$ ше без треня котуля по простей та ше достава циклоида.

Значи, кед $\kappa$ нє круг, алє проста хтора ше без шлїзканя руша звонка по фиксираним кругу $\kappa$', крива ше наволує инволута круга.

Ґалилео Ґалилей бул перши науковец хтори озбильно преучовал циклоиди 1599. року, опробовал направиц квадрат истей поверхносци як цо поверхносц попод циклоиду.

Тот проблем коло 1628. року розумел Жил Персон де Риберва од Марина Мерсена и применєл 1634. року хаснуюци Кавалиерийову теорему. Його робота нє була видата по 1693. рок.

Конструкция танґенти циклоиди дата у авґусту 1638. року кед Мерсен научел окремни методи од Риберву, Пєра Ферма и Ренеа Декарта. Мерсен тоти факти прешлїдзел Ґалилеови , а вон потим своїм студентом Торичелийови и Вивиянови, хторим ше поспишело направиц који квадритуру циклоиди.

Року 1673., Кристиян Гайгенс направел циклоидни пендулум пре полєпшованє ради хронометра и так одкрил же часточка прави драгу у форми инверзного циклоидного луку, нєзависно од єй початней точки.

Року 1686., Ґотфрид Вилхелм Лайбниц вихасновал аналитичну ґеометрию же би описал криву зоз єдну єдначину.

Циклоида ше зявює як ришенє найстаршого проблему, нєшка барз важного конара математики– варияционого рахунку. То проблем брахистохрони, хтори поставел Йоган Бернули 1696. року, а ришовали го Нютн, Лайбниц, Якоб Бернули и Лопитал.

Примена

Циклоидни лук на Кимбеловим музею уметносци

Челїчни зубчанїки

Циклоидни дизайн нашол примену у архитектури Кимбел музею уметносцох у Тексасу, хтори дизайновал Луис Кан.

Попри архитектури, циклоидни дизайн ше ище хаснує у вирабяню музичних инструментох, як и у машинстве.

Єдначина

Циклоида, хтора настава зоз котуляньом круга полупречнїка r = 2

Єдначина циклоиди, хтора преходзи през координатни початок, а настава зоз котуляньом круга полупречнїка $r$:

$x=r(t-\sin t)\,$

$y=r(1-\cos t)\,$

У тей єдначини $t$ параметер хтори одвитує углу ротациї круга.

Кед ше єдначина риши по пременлївей t, доставаме єдначину циклоиди у Декартових координатох:

$x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}}$

Перши лук циклоиди творя точки за хтори важи:

$0\leq t\leq 2\pi .\,$

Циклоида представя ришенє диференциялней єдначини:

$\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r-y}{y}}.$

Проблем брахистохрони

Йоган Бернули 1696. року поставел проблем брахистрохрони. За гоч хтори задати точки A и B у вертикалней ровнї потребне одредзиц єдначину кривей по хторей би ше рушала материялна точка под дїйством ґравитацийней сили, так же би тоту оддалєносц прешла за найкратши можлїви час.

Брахистохрона

Тота крива то циклоида, а проблем представял початок розвиваня варияционого рахунку.

Проблем ришовали Исак Нютн, Якоб Бернули, Ґийом де Лопитал и Ґотфрид Вилхелм Лайбниц.

Поверхносц

Лук циклоиди задати зоз:

$x=r(t-\sin t),\,$

$y=r(1-\cos t),\,$ и зоз условийом:

$0\leq t\leq 2\pi .\,$

Прето же:

${\frac {dx}{dt}}=r(1-\cos t),$

теди поверхносц попод єден лук виноши:

${\begin{aligned}A&=\int _{t=0}^{t=2\pi }y\,dx=\int _{t=0}^{t=2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}\,dt\\&=\left.r^{2}\left({\frac {3}{2}}t-2\sin t+{\frac {1}{2}}\cos t\sin t\right)\right|_{t=0}^{t=2\pi }\\&=3\pi r^{2}.\end{aligned}}$

Длужина луку циклоиди

Длужина єдного луку циклоиди:

${\begin{aligned}S&=\int _{t=0}^{t=2\pi }\left(\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\right)^{1/2}\,dt\\&=\int _{t=0}^{t=2\pi }r{\sqrt {2-2\cos(t)}}\,dt\\&=\int _{t=0}^{t=2\pi }2r\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\,dt\\&=8r.\end{aligned}}$

Длужину луку циклоиди перши вираховал Кристофер Рен 1658.

Криви зоз фамилиї циклоидох

Зоз циклоидами повязани:

• Скрацена циклоида, хтора представя криву хтору описує точка на гоч якей оддалєносци $a$ од центру круга радиюса $r$, алє так же $r>a$. Параметарска єдначина скраценей циклоиди то:

$x=rt-a\sin t\,$

$y=r-a\cos t\,$

• Предлужена циклоида, хтора представя криву хтору описує точка на гоч якей оддалєносци $a$ од центру круга радиюса $r$, алє так же $r<a$. Параметарска єдначина скраценей циклоиди то:

$x=rt-a\sin t\,$

$y=r-a\cos t\,$

• трохоида - скрацена и предлужена циклоида припадаю ґрупи трахоидох
• епициклоида, хтора представя криву, хтору описує точна на кружнїци, хтора ше котуля по вонкашнїм обсягу другей нєрухомей кружнїци
• гипоциклоида, хтора представя криву, хтору описує точна на кружнїци, хтора ше котуля по нукашнїм обсягу другей нєрухомей кружнїци

Eпициклоида

Гипоциклоида

Опать ище

• епициклоида
• гипоциклоида
• трохоида
• епитрохоида
• гипотрохоида

Литература

• Циклоида
• Скрацена циклоида
• Предлужена циклоида