Wp/rsk/Роля (ґеометрия)

Роля або цилиндер (походзи од греческого слова kýlindros — котуляц, ролькац) конвексне ґеометрийне цело. Роля настава зоз ротацию правоугелнїка коло єдней його страни за 360°. Множество шицких точкох, през хтори прейдзе правоугелнїк при обрацаню, творя ролю. Страна коло хторей ше обраца правоугелнїк наволує ше oса ролї. З тоту ротацию наставаю два круги хтори припадаю паралелним ровньом и хтори нормални на осу ролї, тоти круги творя базу ролї. Нормалне розстоянє медзи паралелнима ровнями наволує ше висина ролї. Поверхносц хтора огранїчує ролю, без базох, наволує ше обмоток ролї.

Проста роля чия висина h, a полупречнїк бази r

Кед оса ролї ортоґонална на базу ролї таку ролю наволуєме проста роля. То цело чийо виводнїци и висина истей длужини. Кед тото нє важи цело ше наволує зукоса роля, його виводнїца длугша од його висини.

Свойства ролї

Як ґеометрийне цело, роля ма поверхносц и волумен.

Поверхносц ролї

Поверхносц ролї $(P)$ ше одредзує як сума поверхносци обмотку и двойнїста поверхносц його бази. Поверхносц обмотку ше одредзує як продукт обсягу бази и висини ролї. Обща формула за поверхносц ролї:

$P=2B+M\,$

ознака $B$ представя поверхносц бази, a $M$ поверхносц обмотку ролї. Поверхносц обмотку ролї:

$M=2r\pi \cdot H$

Треба водзиц рахунку о тим же при простей ролї $H=l$, док при косих рольох тото нє важи. Виводнїца при косих рольох нє муши буц дата експлицитно, мож ю вираховац кед дата длужина висини $(H)$ и мера єдного угла. Звичайно то мера угла медзи базу и осу ролї, або їх комплемент односно мера угла медзи нормали на базу и осу ролї.

$H=l\cdot \sin \alpha$, або $l={\frac {H}{\sin \alpha }}$

$H=l\cdot \cos(\pi /2-\alpha )$, або $l={\frac {H}{\cos(\pi /2-\alpha )}}$

Волумен ролї

Волумен ролї $(V)$ ше одредзує як продукт поверхносци бази ролї и висини ролї. Обща формула за волумен:

$V=B\cdot H$

Ознака $B$ представя поверхносц бази, a $H$ висину ролї. Висина ролї нє вше дата експлицитно, и може ше одредзиц прейґ длужини виводнїци и мери єдного угла, як цо уж описане.

Виведзени формули

Ознаки: $r$ полупречнїк, $H$ висина ролї, $l$ длужина виводнїци и $\alpha$ угел медзи базу и осу ролї.

Проста роля:

$P=2B+M=2r^{2}\pi +2r\pi \cdot H=2r\pi \left(r+H\right)$

$V=B\cdot H=r^{2}\pi \cdot H$

Зукоса роля:

$P=2B+M=2r^{2}\pi +2r\pi \cdot l=2r\pi \left(r+l\right)=2r\pi \left(r+{\frac {H}{\sin \alpha }}\right)$

$V=r^{2}\pi \cdot H=r^{2}\pi \cdot l\sin \alpha$