Wp/rsk/Експоненциялни єдначини

Єдначини у хторих ше нєпозната велькосц находзи у екпоненту ступня волаю ше експоненциялни єдначини. Експоненциялна єдначина дефинована за шицки вредосци нєпознатей велькосци x зоз домену реалних числох.

Єдноставни експоненциялни єдначини

Под єдноставнима експоненциялнима єдначинами подрозумюю ше єдначини хтори маю єден член зоз нєпознату велькосцу у експоненту ступня:

$3^{2(x+1)}=81\,$

${\begin{aligned}3^{2(x+1)}&=3^{4}\\2(x+1)&=4\\2x+2&=4\\x&=1\\\end{aligned}}$

Зложени експоненциялни єдначини

Зложени експоненциялни єдначини содержа векше число членох у хторих нєпозната велькосц у експоненту ступня.

Приклад 1

Ришиц експоненциялну єдначину:

$4^{(x^{2}-x+1)}=8^{x}\,$

${\begin{aligned}2^{2(x^{2}-x+1)}&=2^{3x}\\2(x^{2}-x+1)&=3x\\2x^{2}-2x+2&=3x\\2x^{2}-5x+2&=0\\\end{aligned}}$

Кед ше риши квадратна єдначина достава ше ришеня $x_{1}=2$ и $x_{2}={\frac {1}{2}}$, так же обидва ришеня задоволюю условия експоненциялней єдначини.

Приклад 2

Ришиц експоненциялну єдначину:

${{\bigg (}{\frac {3}{7}}{\bigg )}}^{3x-7}-{{\bigg (}{\frac {7}{3}}{\bigg )}}^{7x-3}=0$

Кед ше похаснує правила за операциї зоз ступнями, достанє ше:

${\begin{aligned}{{\bigg (}{\frac {3}{7}}{\bigg )}}^{3x-7}&={{\bigg (}{\frac {7}{3}}{\bigg )}}^{7x-3}\\{{\bigg (}{\frac {3}{7}}{\bigg )}}^{3x-7}&={{\bigg (}{\frac {3}{7}}{\bigg )}}^{-7x+3}\\3x-7&=-7x+3\\10x&=10\\x&=1\end{aligned}}$

Приклад 3

Ришиц експоненциялну єдначину:

$3\cdot 4^{x}+2\cdot 9^{x}=5\cdot 6^{x}$

Кед ше риши єдначина, достанє ше:

${\begin{aligned}3\cdot 2^{2x}+2\cdot 3^{2x}&=5\cdot 2^{x}3^{x}/:2^{x}3^{x}\\3{\frac {2^{x}}{3^{x}}}+2{\frac {3^{x}}{2^{x}}}&=5\\3{{\bigg (}{\frac {2}{3}}{\bigg )}}^{x}+2{{\bigg (}{\frac {3}{2}}{\bigg )}}^{x}&=5/:{({\frac {2}{3}})}^{x}=y\\3y+2{\frac {1}{y}}-5&=0/\cdot y\\3y^{2}-5y+2&=0\\\end{aligned}}$

Кед ше риши достата квадратна єдначина по y достанє ше же $y_{1}=1$ и $y_{2}={\frac {4}{6}}$. Кед ше вежнє до огляду же $({\frac {2}{3}})^{x}=y$, доходзи ше и до конєчного ришеня початней експоненциялней єдначини $x_{1}=0$, a $x_{2}=1$.

Приклад 4

Ришиц експоненциялну єдначину:

$27^{(x^{2}-3x-3)}-{{\bigg (}{\frac {1}{27}}{\bigg )}}^{x}=0$

Кед ше риши єдначина, достанє ше:

${\begin{aligned}{3}^{3(x^{2}-3x-3)}&=3^{-3x}\\3(x^{2}-3x-3)&=-3x\\3x^{2}-9x-9&=-3x\\3x^{2}-6x-9&=0/:3\\x^{2}-2x-3&=0/\\\end{aligned}}$

Кед ше риши найдзена квадратна єдначина по достава ше и ришенє експоненциялней єдначини :$x_{1}=3$ и $x_{2}=-1$ и обидва ришеня задоволюю условия експоненциялней єдначини.

Литература

• Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.