Wp/rki/ကွန်ပလက်စ်ကိန်း

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းဆိုရေမှာ ကိန်းစစ် (real) နန့် စိတ်ကူးယဉ် (imaginary) အပိုင်းရို့ ပါဝင်ရေ ကိန်းဖြစ်ရေ။ ၎င်းကို a + bi ဆိုသည့် ပုံစံဖြင့် ရီးသားနိုင်ပြီး a နန့် b ရို့မှာ ကိန်းစစ်တိ ဖြစ်ကတ်ပြီး i မှာ သုံးနီကျ စိတ်ကူးယဉ်ကိန်းဧ ယူနစ်ဖြစ်ပြီး i²= -1 ဆိုသည့် ဂုဏ်သတ္တိ ဟိရေ။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတွင် သာမန်ကိန်းစစ်တိ ပါဝင်ပြီး အခြားကိန်းအပိုတိကို ထည့်သွင်းထားခြင်းဖြင့် ပေါင်းခြင်းနန့် မြှောက်ခြင်းကို ချဲ့ထွင်ထားခြင်းပင် ဖြစ်ရေ။

ကွန်ပလက်စ်ကိန်း တစ်ခုကို ကွန်ပလက်စ် မျက်နှာပြင်ကို ပြသသည့် အာဂန်ပုံဖြင့် ပြနိုင်ရေ။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်

သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာရေနန့်အမျှ အချို့ကိစ္စတိတွင် ကိန်းစစ်တိဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြီအနီကို ရောက်ဟိလာရေ။ သာဓကပြရကေ အချို့ရေ ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းတိ (polynomial equations) မှာ ကိန်းစစ်အဖြေမဟိပါ။ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်း $x^{2}-1=0$ ကို $x$ အတွက်ဖြေရှင်းပါက ၁ နန့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ နှစ်ခုဟိကေလည်း၊ $x^{2}+1=0$ ကို ဖြေရှင်းပါက ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ (real root) တစ်ခုမျှမဟိရေကို တွိ့ရမည်။ (မည်သည့် ကိန်းစစ် $x$ ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပြီးပါက $x^{2}$ ဧတန်ဖိုးမှာ အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ရာ တစ်သာထပ်ပေါင်းပါက ပေါင်းလဒ်မှာ သုညထက် အနည်းဆုံး တစ်ယူနစ်ပိုကြီးနီမည် ဖြစ်ရေ။ ယင်းချင့်ကြောင့် $x^{2}+1$ ရေ သုညနန့် မည်သို့မှ ညီမည်မဟုတ်ပါ။) ဒေအခြီအနီမျိုးကို ကျော်လွှားနိုင်ရန် ကိန်းအသစ်တိလိုအပ်လာရေ။ ထိုအခါ $x^{2}+1=0$ ဧ (ကိန်းစစ်မဖြစ်နိုင်ရေ) ကိန်းရင်းအဖြေတစ်ခုကို i ဟု သတ်မှတ်ကာ ၎င်းကို ကိန်းယောင်ယူနစ် (imaginary unit) ဟုခေါ်ရေ။ (ဖော်ပြပါ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းကို ရှင်းပါက $x^{2}=-1$ ဟုထွက်ရာ i ကို -၁ ဧ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဟုလည်း ခေါ်ကတ်ရေ။ i ရေ -၁ဧ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖြစ်ပါက -i ရေလည်း -၁ဧ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သတိချပ်သင့်ရေ။) အချုပ်ဆိုရကေ i ဆိုရေမှာ နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရသည့် ကိန်းသစ်တစ်ခုဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်ရေ။ မည်သည့်ကိန်းစစ်မဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ မရနိုင်ရာ i မှာ ကိန်းစစ်မဟုတ်သည့် ကိန်းအသစ်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားရေ။
ကိန်းယောင်ယူနစ်ကို အသုံးပြုပနာ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်ရေ။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခု ဆိုရေမှာ a+bi သဏ္ဌာန်ဟိသည့် ကိန်းတစ်ခုကို ဆိုရေ။ ဒေတွင် a နန့် b မှာ ကိန်းစစ်တိဖြစ်ရေ။ သာဓက၊ $2+3i,-2+(1/3)i,4-\pi i$။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်း -2+(1/3)i ဧ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) မှာ -2 ဖြစ်ပြီး ကိန်းယောင်ပိုင်း (imaginary part) မှာ 1/3 ဖြစ်ရေ။ ယေဘုယျဆိုရကေ ကွန်ပလက်စ်ကိန်း a+bi ဧ ကိန်းစစ်ပိုင်းမှာ a ဖြစ်ပနာ၊ ကိန်းယောင်ပိုင်းမှာ b ဖြစ်ရေ။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်း $z$ ဧကိန်းစစ်ပိုင်းကို $Re(z)$ ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ကိန်းယောင်ပိုင်းကို $Im(z)$ ဖြင့်လည်းကောင်း ဖော်ပြနိုင်ရေ။ ဥပမာ $Re(-2+(1/3)i)=-2$ နန့် $Im(-2+(1/3)i)=1/3$ ဖြစ်ရေ။
ကွန်ပလက်စ်ကိန်းစုကို သင်္ကေတ $\mathbb {C}$ သုံးပနာ ရီးနိုင်ရေ။
ကိန်းစစ်တိုင်းမှာ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းဖြစ်ရေ။ သာဓကဆိုရကေ ကိန်းစစ် 4 ကို 4+0i ဟူ၍ ရီးနိုင်ရေကြောင့် ကိန်းစစ် ၄မှာ ကိန်းစစ်ပိုင်း ၄ဟိပြီး ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညဟိသည့် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခုဖြစ်ရေ။ ယကေလည်း ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိုင်း ကိန်းစစ်မဟုတ်ပါ။ ပိုပြီးကေတိတိကျကျ ဆိုရကေ ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိုင်းမှာ ကိန်းစစ်တိ မဟုတ်ကတ်ပါ။
ကွန်ပလက်စ်ကိန်းစုကို ပိုပြီးကေစနစ်ကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ် တည်ဆောက်လိုပါက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ဟိ ကွင်း (ring) တိ တိုးချဲ့တည်ဆောက်ခြင်းဟူသည့် သဘောတရားကို သုံးလိဟိရေ။ ထိုသို့အဓိပ္ပာယ် ဖွင့်လိုပါက ကွန်ပလက်စ်ကိန်းစု ဆိုရေမှာ $\mathbb {R}$ အပေါ်တွင် ကိန်းရင်းတိဖြင့် ထပ်ဖြည့်တည်ဆောက်ထားသည့်အစု (algebraic closure of $\mathbb {R}$) ဖြစ်ရေ။

ဆက်သွယ်ချက်တိနန့် လုပ်ထုံးတိ

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခု ညီခြင်း

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခု $z=a+bi$ နန့် $w=c+di$ ရို့ကို $a=c$ နန့် $b=d$ ဖြစ်မှသာ တူရေဟုခေါ်ပြီး $z=w$ ဟုရီးရေ။

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခု ပေါင်းခြင်းနန့် မြောက်ခြင်း

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိဧ ပေါင်းခြင်းနန့် မြောက်ခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်ရေ။ $z=a+bi$ နန့် $w=c+di$ ရို့ရေ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခုဖြစ်ကေ
$z+w=(a+c)+(b+d)i$
$zw=(ac-bd)+(ad+bc)i$
ဟုသတ်မှတ်ရေ။ ဒေတွင် $a,b,c,d$ ရို့ရေ ကိန်းစစ်တိဖြစ်ကတ်ရေ။ အထက်ပါအတိုင်း ပေါင်းခြင်းနန့် မြောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ခကေ $(\mathbb {C} ,+,.)$ ရေအပေါင်းထပ်တူရကိန်း $0=0+0i$ နန့် အမြောက်ထပ်တူရကိန်း $1=1+0i$ ဟိသည့် field တစ်ခုဖြစ်ကြောင်းတွိ့နိုင်ရေ။ ထို့ပြင်

$-z=(-a)+(-b)i$

နန့် $z\neq 0$ ဖြစ်ပါက

${\frac {1}{z}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}i$

ဖြစ်ရေ။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခုဧ ပေါင်းခြင်းကို ဗက်တာတိပေါင်းခြင်းဖြင့် အလွယ်တကူသရုပ်ဖော်နိုင်ရေ။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိ မြောက်ခြင်းကိုမူ ပိုလာပုံစံ (polar form) ပြောင်းပြီးမှသာကေ သိသိသာသာသရုပ်ဖော်နိုင်မည်ဖြစ်ရေ။

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခုဧ အတိုင်းအတာ (magintude)

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခု $z=a+bi$ ဧ အတိုင်းအတာကို

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {(Re(z))^{2}+(Im(z))^{2}}}$

ဖြင့်သတ်မှတ်ရေ။ $z$ ကို Coordinate ပြင်ညီပေါ်တွင် $(a,b)$ အားကိုယ်စားပြုသည့် အမှတ်တစ်ခုဟု မြင်ကြည့်ကေ $|z|$ ရေ မူလမှတ် (origin) နန့် $(a,b)$ ကြားဟိ အကွာအဝီးပင်ဖြစ်ရေ။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ $|z|$ ရေ အမြဲတစေ အနုတ်မဟုတ်ရေ ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်လေရေ။ ထို့ပြင်

$Re(z)\leq |z|,Im(z)\leq |z|$

ဖြစ်ကြောင်းကိုလည်း သတိပြုသင့်ရေ။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းရို့ဧ အတိုင်းအတာရေ ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်သည့်အလျောက် ယင်းနန့်သက်ဆိုင်ရေ မညီမျှချက်တိကိုလည်း ဖော်ထုတ်နိုင်ပေရေ။ ဥပမာအနီဖြင့်

$||z|-|w||\leq |z+w|\leq |z|+|w|$

ရေ တြိဂံမညီမျှချက် (Triangle inequality) အဖြစ် လူသိတိရေ။

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခုဧ ကွန်ဂျူဂိတ်

ကွန်ပလက်စ်ကိန်း $z=a+bi$ ဧကွန်ဂျူဂိတ်ကို ${\overline {z}}=a-bi$ ဟုသတ်မှတ်ရေ။ $z$ ကို Coordinate ပြင်ညီပေါ်တွင် $(a,b)$ အားကိုယ်စားပြုသည့် အမှတ်တစ်ခုဟု မြင်ကြည့်ကေ ${\overline {z}}$ ရေ $(a,b)$ ကို x ဝင်ရိုးအတိုင်း အလင်းပြန် (reflect) လုပ်ရာမှ ရဟိလာရေအမှတ်ပင်ဖြစ်ရေ။
ကွန်ပလက်စ်ကိန်း $z$ ဧ ကိန်းစစ်ပိုင်းနန့် ကိန်းယောင်ပိုင်းကို $z$ နန့် ${\overline {z}}$ ရို့ကိုသာသုံးပနာ အောက်ပါအတိုင်း အလွယ်တကူပြန်လည်ရီးနိုင်ရေ။

$Re(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}},Im(z)={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}$

ထို့အပြင် $|z|$ နန့်ဆက်စပ်ပနာလည်း အောက်ပါမှန်ကန်ချက်ကို အလွယ်တကူရဟိနိုင်ရေ။

$z{\overline {z}}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}$