Wp/prg/Hilbertas plattibi

Hilbertas plattibi - en funkciōnalai analīzin lineāra plattibi kīrsa kērmenin stēisan reālin adder kōmplaksiskan gīrbin sen skalārinan rēizinsnan, kawīda ast gāncan en metrīkei inducītan iz skalārinan rēizinsnan. Erainā Hilbertas plattibi ast Banachas plattibi, istwendau Frechet plattibi be istwendau lōkalai auktumma topolōgiska plattibi. Pastāne pabilītan pa Davidas Hilbertas emnin. Hilbertas plattibis ast tērpautan en kwāntiskai mekānikin, harmōniskai analīzin, teōrijai stēisan diferenciālin līgibin be en kitēimans laūkans.

Definiciōni

Skalārina rēizinsna $\langle x,y\rangle$ ast funkciōni, kawīda preipeisāi gīrbin iz kērmenin prei eraīnan pūran stēisan elamēntin, sen zemmans swajjistans:

• Mainasnā stēisan elamēntin senjūnga rēizinsnas wērtibin

$\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}.$

• Skalārina rēizinsna ast lineāran en āntrai argumēntin

$\langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle =a\langle x,y_{1}\rangle +b\langle x,y_{2}\rangle .$

(en ainuntamans kōnwencins en stessei pirman)

• Skalārina rēizinsna stēisan elamēntin be sen sin ast wisaddan ninegatīwan:

$\langle x,x\rangle \geq 0$

be līgibi ast tēr kaddan $x=0$.

Iz pirman be āntran swajjistan ēit, kāi skalārina rēizinsna ast antilineāran en āntrai argumēntin. En reālai Hilbertas plattibimans skalārina rēizinsna ast lineāran en abbeimas argumēntins.

Wektōras nōrmi ast definītan kāigi: :$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }},$ be etālisku sirzdau dwāi elamēntins ast definītan kāigi tenēisan šlaitīntan nōrmi :$d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}.$. Pirmā be tirtī skalārinas rēizinsnas swajjista dāst stawīdse distāncis simētrisku. Tirtī swajjista dāst, kāi distānci ast nulli tēr kaddan $x=y$. Skalārina rēizinsna izpilnina Cauchy-Schwartz nilīgibin :$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|$, ka garantijja trillunkis nilīgibin :$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$.

Kāi lineāra plattibi sen skalārinan rēizinsnan būlai Hilbertas plattibi, turri būtwei gāncan. Plattibi $H$ sen metrīkin $d(xy)$ ast gāncan, ka zentli kāi erainā rīpawisku $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset H$ izpilninantī Cauchy's āudairan:

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{N\in \mathbb {N} }\;\forall _{m,n>N}\;d(a_{m},a_{n})<\varepsilon .$

turri arāikan en plattibei $H$.

Subaduālisku be reflaksīwisku

Rieszas gērdausenis bilāi, kāi eraīns lineārs funkciōnals na Hilbertas plattibin mazzi būtwei pertreptan kāigi skalārina rēizinsna sen ainuntan wektōran iz plattibin:

$F(\cdot )=\langle u,\cdot \rangle$

Gērdausenis dāst antilineāran, izōmetriskan izomōrfisman sirzdau Hilbertas $H$ plattibin be plattibin $H^{*}$ stēisan lineāran funkciōnalin kīrsa di (duālin plattibin), tītat erainā Hilbertas plattibi ast subaduālin.

Etkūmps tērpautun Rieszas gērdausenin gaūnimai, kāi eraīns funkciōnals na duālin plattibin ast wērtibis imsnā en deīktu, tītet $H^{**}=H$ - Hilbertas plattibi ast reflaksīwan.

Perwaidīnsnas

• Lebegue'as plattibis:

Plattibis stēisan reālin adder kōmplaksiskan funkciōnin iz plattibin sen mattan $(X,\mu )$, kawīdas izpilnina āudairan: :$\int _{X}|f|^{2}d\mu <\infty ,$ (integrīminisku sen kwadrātan). Skalārina rēizinsna ast dātan kāigi: :$\langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\ d\mu (t).$.

• Sirzdau Lebegue'as plattibin mazīngi šlaitīntun plattibis stēisan rīpawiskwan, kaddan mats ast diskrettan, perw. ℓ² plattibi stēisan rīpawiskwas izpilnināntis āudairan: :$\sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}<\infty$ sen skalārinan rēizinsnan: :$\langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }{\overline {z_{n}}}w_{n},$.
• Ik mats ast diskrettan be tūlisku $X$ ast wangiskan, staddan plattibi ast izomōrfiskan sen $\mathbb {R} ^{n}$ adder $\mathbb {C} ^{n}$ sen skalārinan rēizinsnan dātan kāigi: $\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{i}$.
• Sobolewas plattibis:

Plattibi stēisan diferenciālin funkciōnin kīrsa plattibin sen mattan, kawīdas ast integrīminan sen kwadrātan be turri izwessenins integrīminans sen kwadrātan. Skalārina rēizinsnā ast definītan kāigi:

$\langle f,g\rangle =\int _{\Omega }{\overline {f(x)}}g(x)\,dx+\int _{\Omega }D{\overline {f(x)}}\cdot Dg(x)\,dx+\cdots +\int _{\Omega }D^{s}{\overline {f(x)}}\cdot D^{s}g(x)\,dx$