Ἐν τῇ μαθηματικῇ, καθ' ἡμίσειαν ἐπανάληψις, ἐστὶ ἡ καθ' ἡμίσειαν σύνθεσις συναρτήσεως ταυτῇ. Τοίνυν ἡ συναρτησιακὴ τετραγωνικὴ ῥίζα συναρτήσεως g ἐστὶ ἡ συνάρτησις f πειθομένη τῇ f(f(x)) = g(x) δι᾽ἁπάσας τὰς τιμὰς x.
Ἐπὶ παραδείγματι, f(x) = 2x2 ἐστὶν συναρτησιακὴ τετραγωνικὴ ῥίζα τῆς g(x) = 8x4. Ὡσαύτως, ἡ συναρτησιακὴ τετραγωνικὴ ῥίζα Τσεμπυσεβείων πολυωνύμων (Chebyshev polynomials) g(x) = Tn(x) ἐστὶν f(x) = cos ( (√n ) arccos(x)), μέντοι οὐχὶ πολυώνυμον ἐν γένει.
Ἐπί τό τηλαυγέστερον δοχθῆναι, f δεδήλωται ὡς συναρτησιακὴ τετραγωνικὴ ῥίζα τῆς g ψαυκρῶς ὥσπερ f = g½.
Ἡ συναρτησιακὴ τετραγωνικὴ ῥίζα τῆς ἐκθετικῆς συναρτήσεως διεσκοπήθη ὑπὸ τοῦ Ἑλμουτίου Κνεζέρου ἐν ἔτει 1950.[1]
Αἱ λύσεις τῆς f (f(x)) = x ἐπὶ τῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν (τῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν περιτυλίξεις) ἐπερωτήθησαν τὸ πρῶτον νουνεχῶς παρὰ τοῦ Καρόλου Βαββαγίου (Charles Babbage) ἐν ἔτει 1815, ἥγουν ἥδε ἡ ἐξίσωσις Βαββάγειος συναρτησιακὴ ἐξίσωσις καλεῖται.[2] Λύσις ἐξαίρετος τυγχάνει ἡ f (x) = (b−x)/(1+cx) ὅπου bc≠1, περιλαμβάνουσα c = 0, εἴτε b ≅ c ≫ 1. Δοθείσης δὲ λύσεως f, δεξιὀς Βαββάγιος ἐντετριμμένως νενόηκεν οὖν συναρτησιακὸν ἱσοδύναμον ταύτης Ψ−1○f○Ψ, δι᾽ αὐθαιρέτου άντιστρεπτῆς συναρτήσεως Ψ, ἅμα ὁμοῦ λύσιν εἶναι!
Μέθοδος συστηματικὴ παράγειν αὐθαιρέτους συναρτησιακάς n-οστὰς ῥίζας (περιλαμβάνουσας, πέραν τοῦ n = ½, συνεχεῖς, ἀρνητικάς, καί ἀπειροελαχίστους τιμὰς n) ἔξεστι, πιστεύουσα ταῖς λύσεσι τῆς Σροιδερίου ἐξισώσεως (Schröder's equation).[3][4] [5]
- Παράδειγμα
Ἐκ τοῦ παιδαγωγικοῦ ἱστιοτόπου.[6] Ἐπαναλήψεις τῆς συνημιτονιακῆς συναρτήσεως (γλαυκὴ), ἐν τῇ πρώτῃ ἡμιπεριόδῳ. Καθ' ἡμίσειαν ἐπανάληψις (ξανθὴ), ἥγουν ἡμιτόνου συναρτησιακὴ τετραγωνικὴ ῥίζα. Ταυτῆς δε συναρτησιακὴ τετραγωνικὴ ῥίζα, τετάρτη συναρτησιακὴ ῥίζα (μέλαινα) ὑπὲρ ταύτης. Τέτταρες ἀκέραιαι ἐπαναλήψεις ὑπὸ ταύτης, δευτέρας ἐπαναλήψεως ἀρχόμεναι (ἐρυθρᾶς). Τό δε χλωρὸν περιπτύσσον τρίγωνον ἰσοδυναμεῖ τῇ ὁριακῇ μηδενικῇ ἐπαναλήψει, ἥγουν τῇ πριονοδοντείᾳ συναρτήσει, ἀρχὴ τῷ συνημιτόνῳ ἄγουσα.
Ἀναφοραὶ
edit- ↑ Kneser, H (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x)) = ex und verwandter Funktionalgleichungen", Journal fuer die reine und angewandte Mathematik Journal fuer die reine und angewandte Mathematik 187 56–67
- ↑ Jeremy Gray and Karen Parshall (2007) Episodes in the History of Modern Algebra (1800-1950), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4343-7
- ↑ Schröder, E (1870). "Ueber iterirte Functionen", Mathematische Annalen 3 (2) 296–322 , doi 10.1007/BF01443992
- ↑ Szekeres, G (1958). "Regular iteration of real and complex functions" Acta Mathematica 100 (3–4) 361–376, doi: 10.1007/BF02559539
- ↑ Curtright, T and Zachos, C (2011) "Approximate solutions of functional equations" Journal of Physics A 44 (40) 405205, doi: 10.1088/1751-8113/44/40/405205
- ↑ Curtright, T.L. Evolution surfaces and Schröder functional methods.
 |
Ἥδε ἡ ἐγγραφὴ δεῖ παρεκτενεῖσθαι . Βοηθεῖτε μετὰ τῆς ὑμετέρας εἰσφορᾶς τῇ ἐργασίᾳ ταύτῃ. |