Wp/grc/Θεωρία ἀναπαραστάσεων τῆς SL(2,R)

Ἐν τῇ μαθηματικῇ, τὰ κύρια ἀποτελέσματα ἐν τῇ θεωρίᾳ τῶν ἀναγώγων μονοτικῶν ἀναπαραστάσεων τῆς Λιείου ὁμάδος SL(2,R) (ἢ SL₂(ℝ)) ὀφεἰλονται τοῖς Gelfand - Naimark (1946), V. Bargmann (1947), Harish - Chandra (1952).

Ἡ δομὴ τῆς συμμιγεοπεποιημένης Λιείου ἀλγέβρας

Ἕλωμεν τὴν βάσιν H, X, Y πρὸς συμμιγεοποίησιν τῆς Λιείου ἀλγέβρας τῆς ὁμάδος SL₂(R), ὥστε τὸ iH γεννᾷν τὴν Λίειον ἄλγεβραν συμπήκτου Καρτανείου ὑφομάδος τινος K (οὑτωσί, ἐν ταῖς ἰδιαιτέραις μονοτικαῖς ἀναπαραστάσεσιν, μερίζηται ὡς ἄθροισμά τι ἰδιοχώρων τοῦ H), τὸ δε σύνολον {H,X,Y} sl₂-τριπλίς τις εἶναι, ἥπερ πληροῖ τάσδε μεταθετικάς σχέσεις,

$[H,X]=2X,\quad [H,Y]=-2Y,\quad [X,Y]=H~.$

Ὁ Καζιμίρειος τελεστὴς Ω ὁρίζεται ὡς ὁ ἀναλλοίωτος τελεστής

$\Omega =H^{2}+1+2XY+2YX,$

γεννᾷ δ᾽ οὗτος τύνοιν τὸ κέντρον τῆς οἰκουμενικῆς περιτυλισσούσης ἀλγέβρας τῆς συμμιγεοπεποιημένης Λιείου ἀλγέβρας τῆς SL₂(R).

Ἀναφοραί

• V. Bargmann, Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group, The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 48, No. 3 (Jul., 1947), pp. 568-640
• Gelfand, I.; Neumark, M. Unitary representations of the Lorentz group. Acad. Sci. USSR. J. Phys. 10, (1946), pp. 93--94
• Harish-Chandra, Plancherel formula for the 2×2 real unimodular group. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 38 (1952), pp. 337--342
• Serge Lang, SL2(R). Graduate Texts in Mathematics, 105. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-96198-4
• William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5