Wb/yue/0.999.../小數乘10

將一個無限小數乘10嘅方法同有限小數一樣：將所有數位向左蹆一格就得。

定理

若果 $A=0.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots$ 咁 $10\times A=a_{1}.a_{2}a_{3}\ldots$

證明

將$A$寫做一個級數：

$A=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}$

然後將兩邊乘10，右邊嘅級數可以逐項乘：

$10A=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {10a_{n}}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n-1}}}$

然後調整個級數嘅標號：

$10A=a_{0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n+1}}{10^{(n+1)-1}}}$

由於$a_{0}$係 0，得證：

$10A=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n+1}}{10^{n}}}$