Wp/bgn/۱ − ۲ + ۳ − ۴ + …

1 − 2 + 3 − 4 + · · · ‎۱ − ۲ + ۳ − ۴ + …‎ یک سری متوالین طبعین اعدادان انت که متناوباً تفریق و جمع ئه به ینت. ای سری اولین مجموعان $m$ توانن که گو سیگمایی طریقه شه جهلین رابطه ئا بدست بیارن:

چینکه هزار حاصل جمع جزئی شه دنباله … + ۴ − ۳ + ۲ − ۱

$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}$

ای سری بی‌پایان و همیرنگ واگر انت. پد حد نداریت. اما به قرن ۱۸ میلادی یی تا لئونارد اویلر جهلگین معادله نوشت که آ وت زانت که متناقض گو همي اصلا اینت:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}$

اویلر اثبات

اویلر به جهلگین رقما توانت که ثابت کنت که بُرزگین دنباله گو ۴ عددا همگرا انت

${\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}$

همرنگین دنباله ئان

دیگرین دنباله‌ هم به همي دنباله ئی رقما موجود انت. په نمونه خاتیرا، توانن نشان دین که شه جهلکین دنباله به ${\frac {1}{2}}$ عددا همگرا اینت. ای به وختی اینت که دنباله تانا شه ۰ و ۱ عددان ودی بوتین و نباید انتظار دارن که به نامکملین عددی همگرا بیت.

$1-1+1-1+\cdots ={\frac {1}{2}}.$

گیپتجاه

• ویکی پیڈیای شراکت کنوک ئان، «‎۱ − ۲ + ۳ − ۴ + · · ·‎»، انگریزین ویکی پیڈیا، آزاتین زانت نامه (پدا دیسته بوته به ۲۶ اکتوبر ۲۰۱۵).